- 질문 게시판입니다.
Date 18/04/07 22:47:13
Name   [익명]
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File #2   2222.PNG (15.3 KB), Download : 0
Subject   수학 질문합니다.




안녕하세요.
무한급수 관련해서 의문이 생겼는데 지식으로 해결할 방법이 없어서 질문합니다.
질문은 2개인데 각자 다른 문제입니다.

1. 제가 처음에 제시한 명제는 틀린 명제인가요? 증명하고 싶은데 할 수가 없네요. 헛공부했나봅니다.

2. 예시로 든 문제는 고등학교 문제입니다(저 자체가 문제인 것은 아니고 푼 결과로 무한급수가 나옵니다).
   1) 처럼 생각해서 푸는 게 고등학교 수준에선 맞는 거 같습니다.
   그런데 대부분의 학생이 2) 처럼 생각해서 풀 것 같고, 저도 그랬습니다. 실제로 답도 같구요.
   이 경우에 왜 이런 상황이 발생하는 건가요? 일반적으로 증명할 수 있을까요?
   어떤 수열의 짝수번째 항만 모은 급수와 홀수번째 항만 모은 급수가 수렴하면 수열 전체의 급수도 수렴한다.. 이런 것들이요.



0


[글쓴이]
아, 이런. 1번은 대략 증명이 될 것 같긴 하네요.
어.. 아닌가.. 음
양인 홀수와 짝수의 합집합이 자연수 전체를 커버하니까요. 수열의 홀수번째 항과 짝수번째 항을 모으면 원래 수열이 되겠지요. 그런 의미에서 첫번째 식의 S_n이 급수를 의미한다면 수렴하는 값은 알파
[글쓴이]
첫 번째 질문과 두 번째 질문은 좀 별개입니다. 첫 번째 질문은 어느 항만 모았다가 아니라 몇 번째 항에서 끝난다는 원래 정의대로 썼습니다.
그렇네요 헷갈렸습니다 바보 ㅋㅋ
[글쓴이]
에이.. 아니에염.. 아으 어렵네요.
[글쓴이]
아.. 1번은 있네요... 으으. 그런데 이걸 고등학교 수준에서 증명할 수는 있을까요? 고등학교에서 극한에 대해 알려주는 건 정말 적은데..
캡틴아메리카
1번은 짤에 밑에 다 쓰신 수열에 해당하는 명제를 증명하면 충분합니다. 하지만 고등학교 수준으로는 할 수 없습니다.
[글쓴이]
아.. 안되나요. 그렇군요 ㅠㅠ
캡틴아메리카수정됨
2는 1)로 푸는게 정석 풀이가 맞습니다.

2)로 풀어도 되는데 2)로 풀려면 논리를 1)로 풀 때보다 좀 더 명확하게 해야합니다.

2)로 풀 때는 주어진 급수가 수렴한다는 것을 먼저 알고 있어야 하고 수열이 양항수열이면서 짝수항 따로 홀수항 따로 했을 때 수렴하기 때문인데, 이 역시 고등학교 수준으로는 증명이 불가능합니다.
[글쓴이]
알게 모르게 고등학교 내로 설명 안되는 풀이가 되게 많은 거 같아요. 직관에는 부합하더라도요.
감사합니다.
캡틴아메리카
참고로 예를 들어 1 -1/2 +1/3 -1/4 +1/5 -1/6 +.....

처럼 주어진 급수는 수렴하지만 수열이 양항수열이 아니면 2번의 2)처럼 풀면 안됩니다. 짝수, 홀수를 나누면 수렴을 안하거든요.
[글쓴이]
아 그러네요.. 교대급수판정은 되는데 문제의 방식으로는 안 되네요. 앞으로 저런 문제들이 나오면 이런 식으로 쪼갤 수 있음을 보여주는 것이 필요할 것 같습니다 ㅠㅠ 감사합니다!
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