- 질문 게시판입니다.
| Date | 25/06/11 20:04:17 |
| Name | 물리물리 |
| Subject | 극한의 엄밀한 정의를 할때 |
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엄밀한 정의를 하다보면(엡실론델타 논법) x가 a에 접근한다는 것 대신 범위를 이용해서 임의의 입실론에 대해 만족하는 델타가 존재할때 극한이 정의된다고 배우는데 그럼 x가 a에 접근한다는 고등학교식 접근은 잘 못 된건가요? 아니면 임의의 엡실론을 점점 작은 값으로 정할때 x의 범위가 좁아지는걸 점근한다고 표현한건가요? 그리고 만약 범위가 좁아지는 거라면 그래프 위의 점이 a에 다가간다는 발상보단 y축과 평행한 선을 잡은뒤 선이 점점 a에 가까워 진다고(즉, x가 점점 a에 가까워 진다기 보단 범위가 a로 좁아진다는 마인드) 생각하는게 더 나은가요? 0
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수학은 수학적 언어를 통해 다루어지는 것이죠.
고등학교에서 배우는 정의는 교육적인 목적으로 수학적 언어를 다듬은 것이라고 보면 됩니다.
마지막 질문은 x와 a의 거리가 한없이 줄어드는 것으로 이해하시면 됩니다.
고등학교에서 배우는 정의는 교육적인 목적으로 수학적 언어를 다듬은 것이라고 보면 됩니다.
마지막 질문은 x와 a의 거리가 한없이 줄어드는 것으로 이해하시면 됩니다.
x가 a와 거리가 한 없이 줄어든다고 이해하는게 저는 범위가 좁아진다고 생각을 했는데 이렇게 생각해도 맞는건가요? 엡실론 델타 논법에서 범위가 좁아진다는건 결국 저희가 임의의 양수 입실론을 점점 작은 값으로 잡을 때 델타가 점점 작아져서 결국 x가 a로 간다는건데 그럼 사실 x는 델타범위 보다 안에 있는 어떤 값이어도 가능한거니깐 저는 이런 이유로 x를 단순히 그래프 위의 점으로 보고 다가간다는게 잘못된 인식이라고 생각해서 양쪽에서 a로 범위(범위가 좁아지는걸 시각화 하기위해 직선을 도입하였습니다)가 좁아진다고 인식한거였습니다.
이게 잘못된건지, 아니면 잘 하고 있는지 수정할 점은 없는지 조언해주실수 있나요?
이게 잘못된건지, 아니면 잘 하고 있는지 수정할 점은 없는지 조언해주실수 있나요?
범위가 아니라 [거리]가 줄어드는 것으로 이해하는게 좋습니다.
그게 이변수 이상의 함수 등 일반화된 상황에서도 똑같이 적용할 수 있기 때문입니다.
시각적으로는 a를 중심으로 반지름이 델타인 [원]을 그리고 그 원의 반지름이 점점 줄어드는 것으로 생각하면 됩니다.
그게 이변수 이상의 함수 등 일반화된 상황에서도 똑같이 적용할 수 있기 때문입니다.
시각적으로는 a를 중심으로 반지름이 델타인 [원]을 그리고 그 원의 반지름이 점점 줄어드는 것으로 생각하면 됩니다.
아 제가 말씀드린 범위가 좁아진다고 이해한게 어떻게보면 거리가 좁아진다고도 볼 수 있는거였군요. 그런데 궁금한점은 입실론 델타 논법에서 말씀하신 그 거리 안에 있는 모든 x가 조건을 만족하기에 저는단순히 거리 라고만 보면 그 안의 x가 조건을 성립한다는 부분이 빈약하다고 느껴져서 범위라고 이해했던 거였습니다. 그리고 원으로 이해하는 방법도 좋은 것 같은데 반지름이 입실론인 원으로 잡으면 사실 그 함숫값과 L의 차는 입실론보다 약간 작기에 제생각에는 보다 엄밀한 수직 수평 밴드법을 사용한 것 이었고 그중 수평밴드는 직관적 이해에 필요 없다고 느껴서 수직 밴드만 남긴게 제가 아까 말한 방식이었습니다.
거리로 보는 것에 대해 어떤 점이 빈약하다고 느껴지나요?
물리물리님이 알고 있는 극한의 엄밀한 정의 자체가 원래 거리로 서술되어 있는 개념입니다.
- 극한의 정의 -
임의의 입실론에 대하여 델타가 존재하여 a를 중심으로 한 반지름이 델타인 원 안에 x(=/= a)가 있으면[= x와 a 사이의 거리가 (0 초과) 델타 미만이면],
L를 중심으로 한 반지름이 입실론인 원 안에 f(x)가 있다[= f(x)와 L 사이의 거리가 입실론 미만이다].
물리물리님이 알고 있는 극한의 엄밀한 정의 자체가 원래 거리로 서술되어 있는 개념입니다.
- 극한의 정의 -
임의의 입실론에 대하여 델타가 존재하여 a를 중심으로 한 반지름이 델타인 원 안에 x(=/= a)가 있으면[= x와 a 사이의 거리가 (0 초과) 델타 미만이면],
L를 중심으로 한 반지름이 입실론인 원 안에 f(x)가 있다[= f(x)와 L 사이의 거리가 입실론 미만이다].
예를 들어 이변수 이상의 상황에서는 일반적으로는 정의역을 단순히 범위로 나타낼 수 없는 상황이 많습니다.
수학을 대할 때는 기본적으로 일반화와 추상화를 생각하면서 이해하는게 좋다고 보면 됩니다.
굳이 일변수함수에 한정해서 물리물리님처럼 이해할 수는 있습니다만, 이후에 배울 거리들을 위해 거리 개념을 도입하는게 좋다고 생각하시면 됩니다.
수학을 대할 때는 기본적으로 일반화와 추상화를 생각하면서 이해하는게 좋다고 보면 됩니다.
굳이 일변수함수에 한정해서 물리물리님처럼 이해할 수는 있습니다만, 이후에 배울 거리들을 위해 거리 개념을 도입하는게 좋다고 생각하시면 됩니다.
제가 모호했던건 그거였습니다. |x-a|가 델타보다 작다는 거는 x가 a+델타 거리 안에 있는 모든 값이 될 수 있기에 그 거리를 범위로 보고 접근한다는 거였습니다. 결국 똑같은 말이라는 거네요
예를 들어 이변수함수 f(x, y)의 정의역이 x^2 + y^2 <=1 (좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 원과 그 내부) 이라면
x의 범위와 y의 범위를 각각 따로 부등식으로 나타내기 힘들죠.
이런 상황에서는 물리물리님이 생각한 수직수평밴드법 같은 것을 적용하기 어렵겠죠. ㅎㅎ
x의 범위와 y의 범위를 각각 따로 부등식으로 나타내기 힘들죠.
이런 상황에서는 물리물리님이 생각한 수직수평밴드법 같은 것을 적용하기 어렵겠죠. ㅎㅎ
장말 감사합니다! 그러먄 지금까지 대화한 내용을 한 문장으로 정리하면 0<|x-a|<델타 는 x에서 a까지의 거리임을 인지하고 거리가 델타보다 작은 것이기에 범위로도 생각할 수 있다. 그러나 거리가 본질적 접근이라는게 되겠네요
고등학교 수학에서의 '접근한다' 표현이 엄밀하지 않다는 것은 명확하지만, 그 접근법이 잘못된 것이냐는 잘 모르겠고 개인적으로는 그렇지 않다고 생각합니다. 대한민국 인구의 90% 정도는 입실론-델타 정의를 정확하게 이해하기 어렵고, 99% 정도는 입실론-델타 정의를 활용하여 학문을 해야하는 사람들이 아니기 때문입니다. 실질적으로 고등학교 수학을 배우는 사람이 전국민의 90% 이상이라는 점을 고려할 때, 보통교육을 지향하는 한국 교육체계에서는 극한의 개념을 가장 직관적으로 알게 하여 학습목표를 성취하는 데 '접근한다' 라는 표현을 사용하는 것이 가장 적합하다는 (암묵적) 합의가 있는 것입니다. 무한집합의 정의를 칸토르의 정의(농도가 같은 진부분집합의 존재)로 소개하지 않는 것과 동일한 맥락입니다.
글과 상관 없는 이야기인데 hoxy... 필요하시다면
윈도에서 윗첨자는 ㅊ+한자 부등호는 ㄷ+한자 쓰시면 가능합니다... x² + y² ≤ 1
그리스 알파벳은 ㅎ+한자 입니다 (델타 = Δ 혹은 δ, 입실론 = ε)
(근데 아마 교수님 정도면 이미 아실지도...)
윈도에서 윗첨자는 ㅊ+한자 부등호는 ㄷ+한자 쓰시면 가능합니다... x² + y² ≤ 1
그리스 알파벳은 ㅎ+한자 입니다 (델타 = Δ 혹은 δ, 입실론 = ε)
(근데 아마 교수님 정도면 이미 아실지도...)
무한히 다가간다는 모호한 개념을 엄격한 논리기호로 표현하는 방법을 찾아낸 것이 입실론 델타를 이용한 "극한의 정의"가 되겠죠. 그 방법을 찾아낸 이후 우리 인류는 "거리"가 정의되어 있는 집합에 대해서는 무한히 다가간다라는 말이 무슨 뜻인지 애매한 비유나 직관에 기대지 않고 엄격하게 서술할수 있게 되었죠.
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