수직선은 영어로 number line이고, 수로만 구성된 1차원의 선을 말합니다. 조건 2에서는 '임의의 x, y'라고 하면 더 정확하겠네요. 아무 유리수나 두 개 잡아서 그것들을 x와 y라 부를 때, 조건 2를 만족한다는 뜻입니다.
정말 간단하게 설명하자면, 우리가 사용하는 실수의 정의가 그렇기 때문입니다. 추천게시판의 글은 그 정의를 어떻게 내리는가를 설명합니다. 유리수로만 구성된 number line은 빈틈이 아주 많기 때문에, 그 빈틈을 채울 수들을 '데데킨트 절단'이라는 존재로 만들어 냅니다. number line을 뚝 반으로 잘라서 그 중 왼쪽 반을 수로 정의하는 거죠. 아니면 유리수로 구성된 수렴하는 수열들의 동치류(equivalence class)로 실수를 정의하는 방법이 있는데, 이게 데데킨트 절단으로 실수를 정의하는 것과 사실상 똑같습니다. 이 방법에서는, 두 수렴하는 유리수 수열이 있을 때, 두 수열의 거리가 한없이 가까워지게 되면 두 수열이 정의하는 수를 같은 것으로 칩니다. 그렇다면 (0.9, 0.99, 0.999, ...)와 (1, 1, 1, ...)은 거리가 (0.1, 0.01, 0.001, ...)로 한없이 가까워지기 때문에 같은 수가 됩니다.
여기까진 나름 수학전공 입장의 설명이고, 사실 저는 학창시절에 "x=0.999...로 둘 때 10x-x=9, 따라서 x=1." 이라는 증명을 보고 만족해서 넘어갔던 과거가 있습니다 ㅋㅋㅋ 더 상세한 설명을 원하시면 이제 영문위키에서 실수의 정의를 찾기 시작하거나, 전공책을 펴는 수밖에 없습니다.