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Date 17/07/11 14:40:06
Name   유리소년
Subject   뫼비우스의 띠에 대한 오해 바로잡기


뫼비우스의 띠는 기다란 직사각형의 한쪽 끝을 반바퀴 꼬아 다른쪽 끝에 붙여서 만들어지는 도형입니다.
동시에 수학적인 도형 중 터무니없는 신비주의에 기반한 잘못된 수사의 도구로 가장 많이 희생되는 도형이지요.

이 글에선 글쓴이의 월도타임을 이용해 뫼비우스의 띠에 대한 잘못된 인식들에 대해 간단히 정리해보도록 하겠습니다.


1. 뫼비우스의 띠는 [무한함]을 상징해요!

- 가장 흔히 퍼져있는 오해 중 하나입니다. 하지만 뫼비우스의 띠는 무한과는 별 상관이 없습니다.
뫼비우스의 띠를 만들기 위해 문방구에서 색종이를 살때 색종이가 무한히 들어가진 않잖아요?


2. 뫼비우스의 띠는 [무한한 순환]을 상징해요!

- 반만 맞는 이야기입니다. 아무 지점이나 잡고 계속 돌아도 돌아도 원위치니까 무한한 순환이 아니냐고요?
그렇다면, 무한한 순환을 가장 잘 상징할 수 있는 도형은 [원]이겠지요. 우리가 유치원 때부터 배우는 그 동그라미 말이에요.
무한한 순환을 상징하는 물건으로 원 대신에 뫼비우스의 띠를 이야기하는 것이 당신을 딱히 더 유식하게 만들어주지는 않습니다.
마치 어릴 때 산수 시간에 선생님이 "숫자를 하나 말해보세요!" 라고 했을 때 다른 친구들은 3이요! 6이요! 하는데 혼자 2πi요! 하는 것과 같아요.
문과생들에게는 거부감을, 수학도들에게는 비웃음을 살지는 모르겠네요.


3. 뫼비우스의 띠는 [2차원의 특성과 3차원의 특성을 동시에 가진] 오묘한 물건이에요!

- 2차원이면 2차원인 거고 3차원이면 3차원인 거지 2차원의 특성과 3차원인 특성을 동시에 갖는 건 세상에 없어요.
먼저 논의 이전에 [도형 자체의 차원][도형을 담고 있는 공간의 차원]을 구별지어서 이야기해야겠어요.

수학자들이 도형 그 자체의 차원을 수학적인 의미로 정할 때는,
그 도형의 [일부분]들이 선, 면, 3차원 공간 등등 가장 잘 알려진 n차원 공간들 중 어떤 것과 가장 비슷한지를 생각해본 뒤 그 도형의 차원을 정하게 돼요.
(R^n과 locally homeomorphic하면 n-manifold라고 하지요.)

원의 경우 원의 일부분을 가위로 뚝 잘라서 관찰하면 선을 구부러트린 모양이에요. 그래서 원은 1차원 도형.
속이 빈 공의 경우 그 일부분을 가위로 잘라서 관찰하면 역시 평면을 구부러트린 모양이에요. 그러니까 속이 빈 공은 2차원 도형.
속이 꽉찬 공의 경우 일부분을 가위로 자르면 고체 덩어리이지요. 그러므로 속이 꽉찬 공은 3차원 도형.

뫼비우스의 띠는 평면 직사각형을 꼬아붙여 만든 거니까 일부분을 가위로 잘라도 평면 사각형.
그러니까 뫼비우스의 띠는 [2차원 도형]입니다.


3차원의 특성 관련 이야기가 나오는 이유는 [우리가 뫼비우스의 띠를 만든 공간의 차원이 3차원]이기 때문이겠지요.
하지만 그건 우연히도 문방구에서 종이를 사서 뫼비우스의 띠를 만든 우리가 사는 공간이 3차원이기 때문이지,
뫼비우스의 띠가 3차원의 특성을 가져서가 아니에요.
도형을 담고 있는 공간의 차원은 그 도형을 [어느 공간에 담느냐]에 따라 마음대로 변화하기 때문이지요.

예를 들어서, 원은 2차원 평면에 사는 애니 속 캐릭터들이 2차원 공간 내에서 원을 그릴 수도 있는 것이고,
3차원에 사는 홍차넷 유저들이 3차원 공간 내에서 고무줄로 원을 만들 수도 있는 것이지요. 하지만 그것이 원이 1차원 도형이라는 사실을 바꾸지는 않아요.

남성은 현재 월도짓을 하며 이 글을 쓰는 글쓴이의 본질적인 특성이지만,
글쓴이가 피자집을 갈 때는 피자집의 특성을 부여해 피자집 남성, 직장에 갈 때는 직장의 특성을 부여해 직장 남성 이라고 부르는 건 이상하잖아요?
그 도형이 [현재 어느 공간에 담겨있는지]는 그 도형의 본질적인 특성을 말해주지 않습니다.



4. 그렇군요. 하지만 [뫼비우스의 띠를 담을 수 있는 공간의 최소 차원은 3차원]이잖아요!

- 그렇지 않아요. 뫼비우스의 띠를 [2차원 평평한 평면] 내에 담을 수 없는 것은 사실이지만, 2차원 도형 중에서는 우리가 알고 있는 평평한 평면만 있는 게 아니니까요.
(위의 예제에서 속이 빈 공이 2차원 도형이라는 예를 보셨겠지요?)

뫼비우스의 띠를 담을 수 있는 2차원 도형 중 가장 쉽게 생각할 수 있는 예가 있어요. 바로 [뫼비우스의 띠 자기 자신]이지요.
모든 집합은 그 자신의 부분집합이니까요.


5. 그렇군요. 하지만 평평한 선, 평평한 면, 평평한 3차원 공간 등등을 나열했을 때 뫼비우스의 띠를 집어넣을 수 있는 가장 작은 공간은 저 중 세번째 것 아닌가요?

- 맞아요. 수학적으로는 저것들을 각각 R^1 (직선), R^2 (평면), R^3 (3차원 공간), ...이라고 부르지요.
뫼비우스의 띠는 2차원 도형이면서 평면 R^2에는 매끄럽게 껴묻기(smooth embedding)이 안 되지만, R^3에는 가능하지요.

하지만 그런 특성도 역시 뫼비우스의 띠만의 특성은 아닙니다. 저런 2차원 도형은 아주아주 많아요.
뫼비우스의 띠 말고도 저런 특성을 갖는 2차원 도형들 중 하나는 이미 본문에 등장했는데요, 한번 맞춰보세요.

(정답 : 속이 빈 공)


6. 그럼 뫼비우스의 띠는 뭐죠?

뫼비우스의 띠가 다른 흔한 도형과 비교해 가장 차별화되는 특성은 [2차원 곡면이면서 안팎의 구분이 불가능]하다는 점이에요.
이것은 순환이라든지, 무한하다든지와는 그다지 상관이 없습니다.

예전 창세기전 3이라는 게임에서 뫼비우스의 우주라는 괴이쩍은 묘사가 나왔는데, 그거 쓴 시나리오 작가를 누가 한대 때려줘야 한다니까요.


* 수박이두통에게보린님에 의해서 티타임 게시판으로부터 게시물 복사되었습니다 (2017-07-24 08:13)
* 관리사유 : 추천 게시판으로 복사합니다.



14
  • 마지막 한줄이 글쓴이의 닉네임의 순수성을 의심하게 하는군요.
  • 수학 얘기는 무조건 춫천!
  • 춫천
  • 저도 이런 이공수학 글은 추천
  • 콩알만하게 남아있는 수학적 뇌가 찌릿찌릿 해지네요! 좋은 글 감사합니다!!
이 게시판에 등록된 유리소년님의 최근 게시물


무적의청솔모
위상수학의 추억이... ㄷㄷ
시커멍
(문돌이)
됐고!!
뫼비우스의 띠는 도달하거나 이룰 수 없는, 헤어날 수 없는 굴레를 표현하는 문학적 도구로 두어요!!
CONTAXS2
이과망했으면 ㅠ
뫼비우스의 우주가 무너진다...
캡틴아메리카
딱히 신기한 object가 아니죠.

그저 2-dimensional non-orientable compact manifold with boundary 일 뿐입니다. ㅋㅋㅋㅋ

수학 얘기는 무조건 춫천!
유리소년
그렇져. RP^2도 2-dim nonorientable compact smooth manifold인데 얘는 R^3에도 embed 불가능..
캡틴아메리카
Topology 배우던 시절이 아련하네요. ㅎㅎ

개인적으로는 2-dim compact manifold를 모두 classify 하는 수업이 가장 재미있었어요. ㅋㅋ

제가 수학적 대상을 완전히 분류 해내는 것을 정말 재밌어 했는데, Sylow thm으로 order 60미만의 group 분류하는 것과 더불어 가장 좋아하는 내용입니다. ㅎㅎㅎ
와일드볼트
일반인 입장에선 2-dimensional non-orientable compact manifold with boundary라고 하면 뫼비우스의 띠보다 훨씬 신기한 object 처럼 들리네요.
사악군
클라인병을 이해하기 위해 머리싸맸던 나날이 생각나는군요..
파란아게하
매우 훌륭한 글입니다
춫천
호라타래
좋은 글 감사해요. 흥미진진 +_+ 그럼 내부의 외부의 차이가 없는 점은 수학에서 어떤 의미가 있는 건가요?
캡틴아메리카
내부의 외부의 차이가 없기에(non-orientable) 수학적으로 연구할 가치가 별로 없습니다.

(그래서 제가 윗 댓글에서 [딱히 신기한 object가 아니죠.]라고 했죠. ㅋㅋㅋ)

오히려 내부의 외부의 차이가 있는 것들(orientable)이 연구 대상이 되죠. ㅎㅎ 기하학적 구조를 대수적 구조로 바꾸어 연구할 수 있거든요.
호라타래
설명 감사합니다. 수학적으로 연구할 가치가 없다는 점이, 수학에 관하여 알려주는 의미가 있네요 ㅋㅋㅋ 마지막에 말씀해주신 내용은 완전히 이해를 못했어요 ㄷㄷ 수학 엄청 좋아했었는데ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
유리소년
수학의 한 분야에서 관심있는 부분은 도형들을 분류하는 작업이에요.

예를 들어 사람들을 남자, 여자로 분류할 수 있고 20대, 30대, 40대 등등으로 분류할 수 있겠지요.
여기서 같은 카테고리로 분류된 사람들끼리는 성별이 같다든가 나이가 같다든가 하는 공통점이 존재하지요.

수학자들이 도형을 분류할 때도 비슷한 기준을 사용해요.
위의 예제에서 나이나 성별이 같을 경우 같은 분류군에 사람들을 묶듯이
수학도들이 흔히 쓰는 기준으로 도형들의 호몰로지(Homology)가 같을 경우 똑같은 분류군으로 분류하지요.
도형의 모양... 더 보기
수학의 한 분야에서 관심있는 부분은 도형들을 분류하는 작업이에요.

예를 들어 사람들을 남자, 여자로 분류할 수 있고 20대, 30대, 40대 등등으로 분류할 수 있겠지요.
여기서 같은 카테고리로 분류된 사람들끼리는 성별이 같다든가 나이가 같다든가 하는 공통점이 존재하지요.

수학자들이 도형을 분류할 때도 비슷한 기준을 사용해요.
위의 예제에서 나이나 성별이 같을 경우 같은 분류군에 사람들을 묶듯이
수학도들이 흔히 쓰는 기준으로 도형들의 호몰로지(Homology)가 같을 경우 똑같은 분류군으로 분류하지요.
도형의 모양 자체로 분류하지 않는 이유는 사람의 머릿속에서 시각화할 수 없는 모양을 가진 도형이 너무 많기 때문이에요.
그래서 [기하학적 구조를 일대일대응된 대수학적 구조로 바꾸어] 연구하지요.

호몰로지라는 것은 그 도형에 뚫린 구멍들과 그 도형에 그릴 수 있는 고리들을 추상화한 대수적인 구조인데
이것을 구성하는 방법을 설명하기엔 저도 다 까먹어서 패스..
간단한 예로 쇠공, 나무판자, 손잡이가 없는 물컵은 서로 호몰로지가 같아요. (구멍 0개 뚫린 구조)
하지만 던킨도너츠, 손잡이가 있는 머그컵들과는 호몰로지가 다르지요. (구멍 1개 뚫린 구조, 얘네 둘도 호몰로지가 같음)
호라타래
이해가 쏙쏙 되네요. 감사합니다 :) 왜 기하학적 구조를 대수적 구조로 바꾸는지를 이제 이해했어요. 그러면 뫼비우스의 띄는 대수적 구조로 변환할 수가 없는 도형인가요?
유리소년
아뇨 그건 아닌데 변환하고 난 구조가 그렇게 좋은 성질을 갖지 못하는 것으로 알고 있어요 ㅎㅎ
더 자세한 것은 캡틴아메리카님이.. 전 이 이상은 잘 몰라서..
캡틴아메리카
뫼비우스 띄도 대수적 구조로 변환은 가능한데 너무 단순해서 할 게 없습니다.

또한, orientation도 없어서 기하학적 그 자체로도 할 게 없죠. ㅎㅎ
hmm.... interesting
뫼비우스의 띠의 가장 큰 특징은 이름이 멋있죠
Homo_Skeptic
잘 읽었습니다!!
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