- 질문 게시판입니다.
Date 16/10/06 12:35:48
Name   Cogito
Subject   어렸을때 기하학 문제 좋아하셨나요?
유게의 이 글 보고 문득 생각이 났어요.

https://redtea.kr/?b=13&n=15131

이런건 저 어렸을때 생각하면 자꾸 이것저것 선 그어보면서 이렇게 하나 저렇게 하나 찾다가 결국 맞는거 나오면 아 이거다! 하고 찾는 방식이었거든요.  즉 실력이 떨어져도 시간이 투입되면 풀 수 있는 문제요.  근데 실력이 뛰어나더라도 저거를 팍 하고 빠르게 푸는건 불가능에 가까워 보이거든요?  이런거 잘푸는게 수학적 사고랑 관련 있는거 같지도 않고.

결국 그냥 숫자 큰 계산( 234905823432 * 2139481 = ? 같은) 과 비슷한 느낌이었는데 보통 그렇게 생각하시나요?  아니면 어렸을때 제가 공부를 안해서 그런거지 공부 잘했고 기하학적 센스가 뛰어난 사람은 무난하게 풀 수 있는 문제인가요?

유게 문제나 이런 류 보조선 문제들을 불필요한 보조선 안그리고, 1~2번 안에 정확한 풀이법을 찾아낸다 이런 분 계신가요?


p.s. 다시 보다가 주소가 좀 이상한데? 해서 눌러보니 댓글알림으로 갔던 좌표더군요;;   당황하셨을 분께 죄송합니다.



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Ben사랑
어디에 보조선을 긋고
외접원을 생각해내고
싸인법칙을 생각해내고
..

기하 문제에 있어서 이런 발상 자체가 안 떠올라요. 저는..ㅠㅠ

물론 발상이 떠오르기만 한다면 나머지는 정말 이 글의 말씀처럼 큰 자릿수의 숫자계산에 불과하겠으나..
Ben사랑
수학적 사고랑은 관련있는 듯 해요. 복잡한 도형의 조합 속에서 본질이 되는 기하적 개념들을 캐치하는 것이니.
하긴 iq가 공간지각력이라고 그러죠? 그냥 제가 부족해서 그럴지도 모르겠네요 ㅋㅋ
Ben사랑
IQ의 모든 부문에서 상위권이었으나, 공간지각력 부문에서 그 지능의 수준이 개 수준으로 나왔습니다(...)
파란아게하
풀 수 있는 건 좋아하고,
풀 수 없는 건 싫어했어요.....
가끔보면 이게 진리 같습니다. 보통 보먼 별 관심 없어도 잘 / 쉽게 하면 흥미가 생기는거 같아요.
저는 그림그리는 것 좋아함 + 법칙이나 세운 식이 눈으로 보임 (= 정 모르겠으면 직접 잘 그려서 각도계/자로 재면 확인됨) 이런 이유로 기하학을 좋아했어요!
아니면 잘못 풀었을때 (예시 그림이 제데로 그려진 경우에) "...? 이 각도는 너무 작아/커 보이는데?" 이런 감으로도 때려잡을 수 있구요
벤다이어그램, 함수 x-y-z 그래프, 적분으로 넓이/부피 구하기 등등 그릴 수 있는 것/눈으로 보이는 것 다 좋아하구 잘했습니당.
삼각함수도 삼각형의 각도가 바뀜으로서 function 값이 일정하게 올라갔다 내려갔다 하는걸 x-y... 더 보기
저는 그림그리는 것 좋아함 + 법칙이나 세운 식이 눈으로 보임 (= 정 모르겠으면 직접 잘 그려서 각도계/자로 재면 확인됨) 이런 이유로 기하학을 좋아했어요!
아니면 잘못 풀었을때 (예시 그림이 제데로 그려진 경우에) "...? 이 각도는 너무 작아/커 보이는데?" 이런 감으로도 때려잡을 수 있구요
벤다이어그램, 함수 x-y-z 그래프, 적분으로 넓이/부피 구하기 등등 그릴 수 있는 것/눈으로 보이는 것 다 좋아하구 잘했습니당.
삼각함수도 삼각형의 각도가 바뀜으로서 function 값이 일정하게 올라갔다 내려갔다 하는걸 x-y그래프로 나타낼때
만화속에서 머리위에 전구가 켜지는 것 처럼 *띠용!!* 이런 느낌이 들었어요 ㅋㅋㅋ
아까 탐라에서 댓글 달았던 내용이지만 공간감이랑 연관있는 것 같기도 해요.
제 경우와 제가 과외했던 애들중에 길눈밝고 이런애들은 기하학/x,y,z 3D축으로 된 그래프 등등 더 쉽게 이해하더라구요.
기하 증오했는데 실제로 길눈이 어두웠...
Ben사랑
저는 기하학의 도형이랑 데이터를 시각화한 것은 서로 다른 수준으로 느껴요. 전자는 제가 매우 힘들어하는 대상이지만, 후자는 제가 매우 즐겨 쓰고 읽는 대상이라..
흠.. 생각해보니 xyz 그래프는 함수 값을 대입하고 점찍는/함수의 트렌드를 보는 (? 저는 이런 방식으로 생각합니다) 식이라 기하학이랑은 다른 것 같기도 하네요...
Ben사랑
아, 하지만 데이터 시각화도 3차원의 것은 경험한 적이 없어서 모르겠네요(...)
저는 multivariable calculus할때 종종 써먹곤 했어요. 문제에서 주는 영역에서 xy plane의 네모를 상상한 후 특정 포인트에 z 값을 올리는 느낌으로요...
평평한 찰흙(?)을 z의 높이로 끌어올린다/내린다 이렇게 생각했어요 ㅋㅋ 피자 반죽 늘릴때 막 던지고 돌리고 이러잖아요? 그런 모양으로 상상했어요 ㅋㅋㅋㅋ
사실 x-y 만 나오는 함수에서 그래프가 어찌 그려질지 상상하는 방법이랑 아주아주 비슷해요.
근데 식이 괴랄해지면 이 방법도 못 쓰고 그냥 문자만 보고 푸는거죠 ㅠㅠ........
Ben사랑
저도 그렇게 생각하니 이미지가 잘 떠오르네요.
허헣... 저도 이관대 그런쪽은 별로 관심 없나봐요. 삼각함수 봐도 응 그러겠지? 하고 말아서... 수학적 귀납법이나 수열 확률 같은데 관심이 가더라구요.
어 이건 다 제가 싫어하는 것들이네요 ........ ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
사실 수학시간에 뭘 증명하고 수열을 늘여놓고 이러면 "...?? 웅 그래 근데 이게 뭔 뜻이야 어쩌라고...." 이런 느낌이었어요 ㅋㅋㅋ
이래이래 식 써주고 법칙 증명하면 ㅇㅇ ㅇㅋ! 하고 그렇게 가르쳐 준대로 하면 문제가 풀리니까 풀었지 제가 기하학을 이해하는 만큼 본능적(?)인 느낌은 없었어요... ㅠㅠ
확률/통계 수업도 다들 쉽다고 하는 건데 말아먹었었구요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
레지엔
어렸을 때도, 커서도, 학원이랑 과외 뛸 때도 싫어했습니다(..) 특히 보조선 그리는 문제는 이건 작위적이지 않느냐는 생각을 언제나...
Ben사랑
보조선을 그려서 문제를 풀이해주는 교사를 보는 저의 마음은, 알파고의 묘수를 바라보는 또 복기해보는 바둑기사들과 같은 마음일 겁니다(...)
ㅋㅋㅋ 딱 그렇습니다. 아니 왜 저기로 보조선을 긋는데? 결국 눈대중을 바탕으로 한 찍기가 몇번째에 성공하냐에 따라 풀이시간이 정해지는 느낌 너무 싫더라구요.
Ben사랑
문제를 푸는 것 자체가 중요한 게 아니라, 그 문제를 풂으로 해서 어떤 보편적인 능력을 얻어야 하는데, 기하문제는 이 능력의 개념화가 힘들어요.
우주최강킹왕짱
근데 저도 수학 못한 게 아닌데, 기하학 보조선 문제는 아무리생각해도 납득이 안갑니다. 그냥 몇가지 유형 외워서 하나씩 다 찍어보지 않는 이상 못 푸는 문제이고, 사고력으로 풀 수 있는 문제는 아니라고 봅니다. 비슷한 문제로 고1 때 방정식에 w^2+w+1 이런 거 곱해서 푸는 문제들도 그렇구요.
에텔레로사
보조선 문제는 말하자면 문제를 푸는 사람이 스스로 불완전한 문제를 완성시킨 다음에 푸는 거라고 생각할 수 있겠습니다. 완성된 문제는 너무 쉽기 때문에 약간 꼬으기 위해서 일부러 선을 하나 지우고 불완전한 문제로 내는 거겠죠. 결국 문제를 풀기 위해서 내게 필요한 조건이 무엇인지를 생각해보고 유추하면 얻어낼 수 있는 선들입니다. 물론 이것 자체가 문제를 많이 풀어서 무의식 중에 생긴 요령 혹은 유형 외우기에 의한 trial and error일 지도 모르겠습니다만, 어쨌든 문제를 풀 수 있다는 것은 지금 내 눈앞에 보이는 조건들만으로도... 더 보기
보조선 문제는 말하자면 문제를 푸는 사람이 스스로 불완전한 문제를 완성시킨 다음에 푸는 거라고 생각할 수 있겠습니다. 완성된 문제는 너무 쉽기 때문에 약간 꼬으기 위해서 일부러 선을 하나 지우고 불완전한 문제로 내는 거겠죠. 결국 문제를 풀기 위해서 내게 필요한 조건이 무엇인지를 생각해보고 유추하면 얻어낼 수 있는 선들입니다. 물론 이것 자체가 문제를 많이 풀어서 무의식 중에 생긴 요령 혹은 유형 외우기에 의한 trial and error일 지도 모르겠습니다만, 어쨌든 문제를 풀 수 있다는 것은 지금 내 눈앞에 보이는 조건들만으로도 그 보조선이 있어야할 필연적인 논리를 구성할 수 있다는 이야기입니다. 그게 아니라면 조건이 부족하다는 의미가 되어 문제 자체를 푸는 게 불가능할 테니까요. 그런데 문제는 해답지들이 죄다 그 앞의 논리적인 과정을 생략한 채 보조선을 그린다부터 시작을 하고, 너무 그런 식으로 해온 세월이 길어져서 아무도 그 논리에 대해 관심을 안 가져버리게 되어서 지금에 이르게 된 게 아닌가 싶습니다.
Darwin4078
저는 수학에 젬병이어서 뭐라 말할 수가 없지만, 이런 기하문제를 문제 보고 바로 답이 나오는 친구가 있었습니다.
문제를 보면 답이 나온대요. 본인 말로는 머릿속에서 삼각형, 원이 막 휘휘 날아다닌다고 합니다. 뭐야 이거...
캡틴아메리카
소위 수포자들이 수학을 포기하게 되는 시점이 대부분 중학교 논증기하학이 나올 때 부터죠.

논증기하학이 사실 꽤나 어려운 건데, 그걸 중학교 때 다 배우고 넘어갈려니 버거울 수 밖에요;;

수학 전공자인 저도 논증기하학은 아직도 어렵습니다. ㅎㅎ

제가 경시를 포기하게 된 제 1원인이라능...ㅠ
원추리
좋아했어요. 그냥 보면 풀렸거든요.
지금은 안되네요.
Event Horizon
큰수의 곱셈과 같은 문제도 패턴과 원리에 의존한 암산법이 존재하죠. 그게 익숙하지 않은 사람이 처음보면 찾이게 도대체 뭔말이여라고 밖에 보이지 않는게 함정이지 많요.

기하학 문제도 비슷하게 생각합니다.

철저한 객관적 논리의 한가지 답밖에 없는 과목이라 생각되는 수학이지만, 실제로는 좀 다른거죠. 주어진 환경속에서 답은 모두가 동일하게 나와야하지만 그 답에 도달할수있는 과정은 아주 많은데 기본 교과과정에서 가르킬때는 그 중 한가지 방법만 가르키고, 심지어 그 방법이 일반적으로 가장 효과적인 방법이 아닌 경우도 존재하고, 최선의 방법이라도 그걸 가장 효과적으로 정보 전달을하지 못하는 경우도 많다고봅니다.
Ben사랑
어떤 교과든지 문제의 풀이과정을 좀 다양하게, 논리적으로 가르쳐야하는데,

헬조선의 문제풀이는 그냥 문제를 푸는 데에만 급급하니.. 교수법이 정말 문제가 많은 것 같아요.

문제를 많이 풀었다는 사실 그 자체가 중요한 게 아니라, 그 어떤 문제를 풂으로써 그보다 더 많은 문제를 풀 수 있도록 하는 어떤 보편적인 실전 개념을 얻는 게 중요한데 말이죠.
Event Horizon
다른 국가들은 경험해보지 못해서 말씀드리기 어렵지만, 이건 비단 한국만의 문제는 아니라고 봅니다. 제가 현재 생활하고있는 미국의 공교육 시스템도 별볼일 없어요. 오히려 최근에 그거 바꾸려다가 크게 홍역을 치루었던것으로 알고있고요.

전설의 북유럽 국가들이 존재하기는 하나 거기 실황이 어떤지는 정보가 없네요.
Ben사랑
교육론 논문이라든지 쓸만한 교육 이론은 많은데, 이게 현장에 적용이 안 되는 게 답답합니다. 그다지 돈이 드는 것도 아니고, 다만 교사들이 공부를 많이 해야 하는데, 그 교사들을 공부를 하게 할 만한 유인이 없으니.
Event Horizon
저도 현재 학계쪽에있지만 논문기반의 이론은 99% 딱 그거입니다, 그냥 이론이에요. 교육학 뿐만 아니라 제 전공 분야도 물론이고 모든 분야에서 어떠한 연구와 이론이 현장에 적용되기 위해서는 그 이론을 찾아내기 위해서 되었던것보다 훨씬 더 많은 투자와 개발이 필요하다고봅니다. 저희 학과에는 아예 연구의 반 정도를 거기에 투자하는 교수님도계세요. 반은 새로운 과학/공학적 논리를 찾아내고, 나머지 반은 그걸 현장에서 사용할수있는 공학적 방법을 개발하는걸로요. 하지만 그 교수님의 두번째 프로젝트에서 나오는 연구결과들도 아마 진짜 공장에가서... 더 보기
저도 현재 학계쪽에있지만 논문기반의 이론은 99% 딱 그거입니다, 그냥 이론이에요. 교육학 뿐만 아니라 제 전공 분야도 물론이고 모든 분야에서 어떠한 연구와 이론이 현장에 적용되기 위해서는 그 이론을 찾아내기 위해서 되었던것보다 훨씬 더 많은 투자와 개발이 필요하다고봅니다. 저희 학과에는 아예 연구의 반 정도를 거기에 투자하는 교수님도계세요. 반은 새로운 과학/공학적 논리를 찾아내고, 나머지 반은 그걸 현장에서 사용할수있는 공학적 방법을 개발하는걸로요. 하지만 그 교수님의 두번째 프로젝트에서 나오는 연구결과들도 아마 진짜 공장에가서 바로 적용되지 못할겁니다. 현장과 연구실내의 차이는 분명하게 존재하니까요.

그리고 이러한 문제의 책임을 단순히 교사쪽으로 떠넘기는것도 위험합니다. 다양한 방법론과, 열린 사고, 비판적인 사고 다 좋죠. 근데 그걸 가르키려면 교사들도 지금에 비해서 훨씬 더 많이 준비해야하는겁니다. 이미 교육제도가 현재 교육방법에 맞추어서 교사들이 충분히 바쁜 수준으로 설정이 되어있는데 거기서 갑자기 교사들의 부담을 몇배로 늘리면 그걸 누가 자발적으로 하냐 이거죠.

거기에다가 새롭고 효과적인 교육론은 아무리 내가 숙지를 잘햇어도 그걸 남에게 처음으로 전달하는데에는 당연하게 잡음이 생길수밖에 없는거고, 그 과정에서 생기는 피해는 교사는 물론이고 학생, 학부모, 사회가 짊어지게되는겁니다. 여기서 나의 선택 때문에 남들이 적어도 당장은 피해볼수있다는 사실은 꽤 큰 부담이죠. 간단히 말해서 새로운 방법으로 수업을하려고하는데 학부모들이 몰려와서 "아니 선생님, 왜 우리애 가르킬때 이런거 하세요, 이거 때문에 우리애가 수능 못보면 선생님이 책임질꺼에요? 계속 이러시면 전학보낼꺼에요!" 이렇게 퐉! 쏴붇히고 교장한테가서 막 컴플레인 넣으면 교장도 교사도 흔들리지 않고 뚝심있게 밀어 붇히는게 쉬운일라고 생각하지는 않습니다.

이러한 크고 사람들의 삶에 깊게 얽혀있는 제도의 변화는 점차적으로 모두가 함께 변화하는 수밖에 없다고 생각해요. 교사들의 사회적, 경제적 지위도 저러한 투자에 걸맞게 상승해야하고. 그를 위해서는 교사들의 전문성을 더욱더 키워줄 교사육성 프로그램의 변화, 그리고 그 교사들이 일할 학교 시스템의 변화도 알맞게 이루어져야겠죠. 그래도 사실 교사 개개인의 일이 늘어나는 것이기 때문에 지금보다도 교사들의 숫자가 더 많이 필요할수도있어요. 그럴래면은 사회전반적으로도 이러한 교육이 가능하게 되려면 학생들과 학부모들의 인식도 바뀌어야하는거고요.

우리사회를 더 좋은곳으로 만드는것에는 모두가 동의할겁니다. 그 과정에 잡음도있고 그런것도 모두들 그럴수있다고 생각할꺼에요. 하지만 그 잡음에 내가 엮이는 것은 극도록 기피하게되는 것이 사람이죠. 특히나 어떠한 프로젝트의 실패했을 경우 그에 대한 안전망이 특히나 부실한편인 국내 상황을 고려해보았을때 답답함을 느끼시는 문제를 제대로 해결하려면 지금 생각하시는 것보다 훨씬 더 크고 복합적인 인식의 전환이 우리 모두에게 일어나야하지 않을까 생각합니다.
Ben사랑
네. 제가 뭔가 착각을;; 일개 학생 차원의 일과, 교육 현장에 있는 선생님 차원의 일을 따로 생각해야 하는데 이걸 놓치고 있었네요. 저야 그냥 교육학 등의 논문 몇 개를 대충 보고 제 공부에 참고하면 될 뿐이지만, 교육 현장에서는 더 정교한 이론 및 논리가 뒷받침되어야 하고 또 공학적 방법이 근거가 되어야 하겠죠. 그래도 또 현장의 여러 요소들이 이런저런 변수를 만들 테고요.

제가 학교에 다닐 때 언뜻언뜻 교무실에서 뵈었던 담임선생님만 생각해보아도, 그 분이 여러 많은 행정적 업무도 동시에 맡는 등 상당히 시간을 바쁘게 쓰셔... 더 보기
네. 제가 뭔가 착각을;; 일개 학생 차원의 일과, 교육 현장에 있는 선생님 차원의 일을 따로 생각해야 하는데 이걸 놓치고 있었네요. 저야 그냥 교육학 등의 논문 몇 개를 대충 보고 제 공부에 참고하면 될 뿐이지만, 교육 현장에서는 더 정교한 이론 및 논리가 뒷받침되어야 하고 또 공학적 방법이 근거가 되어야 하겠죠. 그래도 또 현장의 여러 요소들이 이런저런 변수를 만들 테고요.

제가 학교에 다닐 때 언뜻언뜻 교무실에서 뵈었던 담임선생님만 생각해보아도, 그 분이 여러 많은 행정적 업무도 동시에 맡는 등 상당히 시간을 바쁘게 쓰셔서 “자기 계발할 시간이 없으시겠구나”라는 마음이 들었는데;; 잠시 간과하고 있었습니다.

또 학생, 학부모, 사회는 당연히 보수적인 자세를 취할 것이고, 그들이 새로운 방법을 시도하는 과정에서 피해를 일정부분 볼 수도 있을 것이고, 컴플레인을 할 수 있을 것이고, .. 이런 사회적인 요소 역시 고려해야 하겠구요.

제가 개개인의 노력보다 거시적인 시스템의 구축을 중시하는 사람인데, 유독 이 사안에 있어서만은 모든 교육 문제를 전자의 탓으로 돌리고 있었습니다. 상당히 여러 요인들이 얽혀있고 많은 사람들이 관계되어 있기 때문에, 전반적으로 이들이 모두 변화하지 않으면 힘들겠다-라는 생각이 듭니다. 특히 학생들과 학부모들의 인식의 변화가 먼저 필요하다는 말씀에 동감합니다.

관련한 다양한 교육 현황을 알려주시고 또 상기시켜주셔서 감사합니다. 또 이렇게 많이 배우네요. 제가 자고 일어나서 답변을 늦게 드려서 죄송합니다. 오늘도 좋은 하루 되세요!
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