- 다양한 주제에 대해 자유롭게 글을 작성하는 게시판입니다.
Date 18/10/11 05:03:35
Name   Sophie
Link #1   https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_inference
Link #2   http://pi.math.cornell.edu/~mec/2008-2009/TianyiZheng/Bayes.html
Subject   [확률론] 당신은 암에 걸리지 않았다 - 의사들도 잘 모르는 사실
의료넷에서 일단 제목으로 어그로 좀 끌었습니다.
제가 짧게 쓸 글은 베이지안 추론에 관한 글입니다.





한번 쯤을 배웠을법한 베이즈 정리에서 출발합니다.

질문: 

40-50세 여성중 대략 1%정도는 유방암에 걸린다. 유방암에 걸린 여성은 90%의 확률로 유방촬영술후 양성판정을 받게되고 정상 여성도 10퍼센트의 양성판정 확률이 있다. 한 여성이 유방촬영술로 양성판정을 받았을때 유방암에 걸렸을 확률은?

95명의 의사에게 이 질문을 했을때 평균을 내보면 75%라고 합니다. 보기엔 상식적인 확률로 보입니다.
베이지안 추론으로 그게 맞는지 확인해봅시다.

A를 유방촬영술 양성판정
B를 유방암이 있음
로 정의하고

이 질문은 P(B|A)를 찾는 조건부 확률 문제가 됩니다.
P(B|A)를 베이즈 추론으로 찾기 위해선 확률 3개가 필요합니다. 
1. P(B)
2. P(A|B)
3. P(A)

그럼 문제를 풀어봅시다.

1. [40-50세 여성중 대략 1%정도는 유방암에 걸린다] -> P(B) = 0.01
2. [유방암에 걸린 여성은 90%의 확률로 유방촬영술후 양성판정] -> P(A | B) = 0.9
3. [정상 여성도 10퍼센트의 양성판정 확률] -> P(A | not B) = 0.1

P(not B) = 1 - P(B) = 0.99



답:

고작 8.3%에 불과합니다.

암을 정기검사같은 어떤 [사전정보 없이] 검사했을 경우 양성판정을 받았다고 해도 실제로 암이 있을 확률은 생각보다 높지 않다는거죠.

베이지안 추론에서 재밌는점은 사후확률을 사전확률로 업데이트할수 있다는 점입니다.

사후확률 P(B | A)을 사전확률 P(B) = .083 로 설정하고 문제를 다시 풀어본다면 사후확률은 45%입니다.

한번 더 반복하면 88%가 됩니다.




그럼 다시 처음으로 돌아가서  테스트의 양성판정률을 99%로 올려봅시다.

 P(A|B) = 0.99로 설정하고 다시 풀어본다면 베이지안 추론으로도 많이 올라가겠죠?

계산을 해보니 9.1% 밖에 되지 않습니다.

사전정보없이 한번의 테스트로 사후 확률을 높이고 싶으면
[정상 여성도 10퍼센트의 양성판정 확률]을 내려야 합니다.
동일조건으로 이 확률만 1퍼센트로 낮추고 다시 계산한다면
한번의 테스트만으로 유방암에 걸렸을 확률은 48%이 됩니다.


1줄 결론:
사전정보와 민감도와 특이도는 매우 중요하다.






10
  • 베이지안이 나타났다


호타루
통계 공부한 사람으로써 본문에 첨언하자면...

저렇게 생각보다 확률이 낮은 이유는 [암에 걸리지 않은 사람의 비율이 암에 걸린 사람의 비율보다 아아아압도적으로 높기 때문]이지, 검사의 신뢰도가 낮거나 의료기관에서 삥땅치려고 그러는 게 아님을 유의하셔야 합니다.

또한 본문에서 사전정보를 이야기해 주셨는데, 여러 가지 정황증거와 정보를 조합하게 되면 당신이 암에 걸렸을 확률은 곱연산이 되어 기하급수적으로 올라갑니다. 즉, 오진? 있을 수 있죠. 하지만 당신은 아니에요.

그리고 근본... 더 보기
통계 공부한 사람으로써 본문에 첨언하자면...

저렇게 생각보다 확률이 낮은 이유는 [암에 걸리지 않은 사람의 비율이 암에 걸린 사람의 비율보다 아아아압도적으로 높기 때문]이지, 검사의 신뢰도가 낮거나 의료기관에서 삥땅치려고 그러는 게 아님을 유의하셔야 합니다.

또한 본문에서 사전정보를 이야기해 주셨는데, 여러 가지 정황증거와 정보를 조합하게 되면 당신이 암에 걸렸을 확률은 곱연산이 되어 기하급수적으로 올라갑니다. 즉, 오진? 있을 수 있죠. 하지만 당신은 아니에요.

그리고 근본적으로 하나뿐인 목숨에 평균 8.3%의 리스크가 있으니 난 괜찮을 거야 오진일 거야 정신승리하지 마시고 빨랑 처방 받으세요. 그러다 안예모 안아키 뭐 이런 사람들 꼴 납니다.
3
암에 걸렸을 확률이 사전확률이 1%에서 사후확률 8%로 뛰는것만으로도 엄청난거겠죠. 무려 800%의 변화..
o happy dagger
이경우에는 진단시 정상여성이 양성반응이 나올 경우를 줄이는 방향으로 가야할듯 한데요. 이걸 10%에서 1%로 줄이면 양성반응시 확진이 될 확률이 50%정도로 껑충...
1
본문에서도 알수있는거지만, Bayesian analysis의 맹점은 prior probability의 모델링이죠
7
맥주만땅
공부 많이 하신분....
현실 세계로 가자면 보통 아픈 사람이 병원을 가고 여러가지 증상이 있기때문에 사전확률은 이미 엄청 높은 상태죠.
그렇기 때문에 정기검진이란 단서를 달았습니다.
가족력 질환인데 집안 히스토리가 있는 경우, 재발률이 높은 질병인데 히스토리가 있는 경우 다 사전확률이 높겠죠.
2
제로스
유전자검사 정확률이 99%니까 1%는 틀릴 수 있는거고 그럼 백명중 한명이나 틀리니까 얘는 내 애가 아니라는 주장을 많이 듣죠.

근데 그럼 원고가 '어떻게 당신을 찍어서' 애아빠라고 하는거같니??
3
T.Robin
그것이 바로 '사전확률'이군요!
1
제로스
그렇죠! 본문의 베이지안 확률로 생각하면 P(B) 가 말도 안되게 작을 것이라 (친부는 한명이고 가임남성의 수는 수십억이니 ㅋㅋㅋ) 유전자검사에서 친부라 나왔다고 진짜 친부일 확률은 0에 가까울겁니다.

그러나 피고로 찍혀서 특정된 이상..빼박인것이죠.
구밀복검
오 제이 난 너를 못 잊어 오 제이 난 너를 사랑해
PPV(positive predictive value)를 precision이라고 부르기도 합니다.
굉장히 재미있는 이야기죠.
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