괴델의 불완전성 정리 그 자체보다, 그 당시 전문 용어로 보여주지 못했던, 그 정리가 보여준 더 큰 현상을 지적하고 싶습니다. 말하자면, 정수론은 이미 그 자체로 우주론적인 컴퓨터라는 것입니다. 더 정확히 말하자면, 우리가 어떤 방정식이 정수해를 갖는지 보이는 것은 임의의 컴퓨터가 halt가 되는지 묻는 것과 동치라는 것입니다. (이 문제의 강한 형태인, 디오판토스 방정식으로 질문한 힐베르트의 10번째 문제는 유명한 MRDP Theorem이 나와서야 증명될 수 있었습니다. 하지만 이보다 작은 형태는 괴델의 증명 내에 들어 있습니다.)

정수론이 끝없는 복잡성을 가진 것처럼 보이는 것은 크게 놀라운 점이 아닙니다. 놀라운 점은, 정수론 중 제시하기 "간단한" 페르마의 마지막 정리나 골드바흐 추측 등이 바로 아주 큰 복잡도를 보여주는 문제라는 데 있습니다. 이런 문제를 저의 딸에게도 설명해줄 수 있음에도 말입니다. 작은 컴퓨터 프로그램이 엄청나게 복잡한 행동을 보인다는 잘 알려진 현상의 정수론적 현현인 것입니다.

(예로 들어, 5-state Turing machine에 알파벳이 0과 1뿐이고 전부 0으로 적혀진 테이프가 있어 이것이 halt가 되는지 안되는지 아직 증명되지 않았다는 것이 있습니다. 이것은 5번째 Busy Beaver number가 무엇인지 모른다는 것과 동치입니다.)

여기서, 저는 선택 편향이 큰 작용을 했다고 봅니다. 저는 halt가 되는 5-state Turing machine도, 10000-state Turing machine도 이야기하지 않았습니다. 이것이 저의 주제가 아니기 때문입니다. 이와 같이, 유명해지게 된 정수론의 문제들은 가장 제시하기 쉬우면서 가장 풀기 어렵게 skewed(꼬여 있는)되었단 것입니다. 그렇기 때문에 이러한 문제가 존재한 것입니다. 더 정확히 말하자면, 인류에게 발견될 수 있는 문제로 보여지게 된 것입니다.

이것을 보는 다른 방법은 이 정수론 수학자들은, 자연스럽게 "복잡성의 최전방"으로 밀려진다는 것입니다.
예를 들어서, 아직은 깊고 비자명적인 명제들을 만들어내고 괴델/튜링의 늪에 빠지지 않은 가장 어려운 형태의 디오판토스 방정식을 들 수 있습니다.
E.g. 수학 비전공자인 제가 보기에 1차와 2차 디오판토스 방정식은 이미 오래 전에 이해되었고,
그 다음이 된 3차 디오판토스 방정식은, 타원곡선의 논의의 기원이 되어,
현대 정수론의 수학자들이 확장하고 있는 주제가 됩니다.
이야기를 바꿔서, 우리는 이것이 얼마나 충분히 높은 복잡성을 가지는지 압니다 -
제가 보기엔, 9개 변수를 가진 4차 디오판토스 방정식으로 충분한 듯 합니다 (역자 : Matiyasevich theorem).
이것이 최적화되어 있는지는 알려지지 않았습니다 - 당신은 이미 MRDP Theorem의 영역을, 따라서 괴델의 결정불가능함의 영역에 들어가 있게 됩니다.

요약하여, 만약 자명함과 결정 불가능성에 경계선이 존재하여, 그 질문들이 풀 수 있으나 수백년동안의 이론을 갖춘 뒤에야 가능하게 된다면, 정수론은 그 자리에 가는 데 아주 자연스런 매커니즘을 갖는 것처럼 보입니다.

(위상수학에서도 비슷한 점을 발견할 수 있습니다 : 2-mainfold는 현대수학 전에 전부 분류되었고, 4-manifold는 최소 halting problem만큼 어려움이 알려져 있습니다. 남게 되는 것은 3-manifold의 분류인데, 이것에 페렐만의 geometrization 등의 수학자들의 시도가 나오게 됩니다.


출처 : https://mathoverflow.net/questions/282869/the-enigmatic-complexity-of-number-theory

마지막 문단에는 글에 맞게 수정을 하였습니다. 추가한다면, 마지막 문단에 있어 Group Theory도 좋은 주제가 될 것 같습니다. 자연스럽게 Classification of finite simple groups를 생각할 수 있겠죠.


mathoverflow에 있는 글 중 가장 탁월하게 보여준, 또 가장 무언가를 연결해준 글이라서 이렇게 소개를 드립니다.

내용 자체도 내용이지만, 어떤 점으로서 느끼지는 연결이 있습니다.



"나는 인류를 지배하고 또 지배당한다... 내가 제시하는 생각은 새장에 갇힌 새와 정반대이다.
인간의 두뇌는 우주론적인 기계이고, 인간은 인류가 있기 때문에 한 인간의 뇌는 그 뇌와 연결된 하나의 이상한 루프뿐만 아니라, 수많은 이상한 루프들, 다른 뇌에서 자리해 있었던 다른 하나의 이상한 루프 뭉텅이들이 있는 장소가 된다.
따라서 한 사람의 인간은 각각의 전혀 다른 이상한 루프들을, 각각의 복잡성을 지닌 상태로 가지게 된다.

하지만 이 명제가 그 어떤 뇌에서도 사실이 되기 때문에, 위의 명제에 대한 역이 성립한다. 모든 사람의 영혼은 수많은 두뇌 속에 수많은 정확성을 가지고 자리해 있고, 따라서 모든 인간의 의식과 나는 다른 뇌들의 집합에서 동시에 살아가는 것이다.
물론, 각각의 "나"에게 "주된 소재지"로의, "주된 뇌"는 있어서 "내 정신은 내 뇌에 자리해 있다" 와 같은 기본 상식은 어느 정도 사실로 칠 수 있게 되지만, 그럼에도 이것은 어떤 핵심적인 생각을, 처음에는 이상하게 들릴 생각을 회피한 것이다 - "내 정신은 내 뇌가 아닌 곳에 어느 정도 있다"는 생각을."


이 두 글 사이에 어떤 연결이 느껴지지 않으신가요.